2024年高教杯国赛（D题）数学建模竞赛解题思路|完整代码论文集合

我是Tina表姐，毕业于中国人民大学，对数学建模的热爱让我在这一领域深耕多年。我的建模思路已经帮助了百余位学习者和参赛者在数学建模的道路上取得了显著的进步和成就。现在，我将这份宝贵的经验和知识凝练成一份全面的解题思路与代码论文集合，专为本次赛题设计，旨在帮助您深入理解数学建模的每一个环节。

本次国赛D题可以做如下考虑

本次国赛（五题）完整内容均可以在文章末尾领取！

问题复述

在这个问题中，我们需要模拟反潜作战中使用深水炸弹对潜艇进行攻击的场景。具体来说，潜艇的中心位置在三维空间中是一个随机变量，其中水平方向上的位置（X和Y坐标）服从正态分布，而垂直方向上的深度（Z坐标）服从单边截尾正态分布。深水炸弹在水中垂直下降，通过触发引信或定深引信引爆，具有一定的杀伤半径，若潜艇处于杀伤范围内，则视为命中。

深水炸弹的命中条件包括以下几种情况：

触发引信引爆：深水炸弹落在潜艇平面范围内，且引爆深度位于潜艇上表面的下方。
定深引信引爆：深水炸弹落在潜艇平面范围内，且引爆深度位于潜艇上表面的上方，同时潜艇在深弹的杀伤范围内。
定深引信引爆（范围外）：深水炸弹落在潜艇的平面范围外，但在引爆深度时潜艇在深弹的杀伤范围内。

题目分析

这个问题可以分解为以下几个关键点：

潜艇位置的建模：
潜艇的X、Y坐标服从正态分布 N(0,σ2) 。
潜艇的Z坐标服从单边截尾正态分布，其密度函数$ ( )$已经提供。
潜艇的航向角$\beta$已知。
深弹的引爆条件：
触发引信：需要计算深弹落点相对于潜艇的平面位置。
定深引信：需要考虑深弹的引爆深度与潜艇的深度之间的关系。
杀伤范围的计算：
深弹的杀伤半径是一个固定值，需要判断潜艇是否在杀伤半径范围内。
问题的随机性：
由于潜艇位置的随机性，深弹是否命中的计算涉及概率分析。

主要建模技巧分析

概率分布与随机变量的建模：
潜艇位置的X、Y、Z坐标是随机变量，需要利用正态分布和截尾正态分布来描述其概率分布。
几何关系的计算：
需要根据给定的潜艇位置和深弹落点，计算它们之间的相对位置，判断是否满足命中条件。
多种命中条件的综合分析：
不同的引爆条件下，需要对深弹与潜艇之间的关系进行不同的判断。
蒙特卡罗模拟：
由于问题涉及到随机变量，可以通过蒙特卡罗模拟的方法，估计深弹命中的概率。

问题1分析与建模

问题1的目标

我们需要分析投弹最大命中概率与投弹落点平面坐标及定深引信引爆深度之间的关系，并给出使得投弹命中概率最大的投弹方案及最大命中概率的表达式。

关键参数

潜艇：长100 m，宽20 m，高25 m。
潜艇航向方位角：90°。
深弹杀伤半径：20 m。
潜艇中心位置的水平定位标准差：$\sigma = 120$ m。
潜艇中心位置的深度定位值：150 m。

主要思路

潜艇的建模：潜艇的长、宽、高分别为 $L=100$ m，$W=20$ m，$H=25$ m。潜艇中心位置固定为 $(0, 0, 150)$。
深弹的建模：假设深弹在二维平面上的落点坐标为 $(x_d, y_d)$，定深引信引爆深度为 $z_d$，引爆深度与潜艇上表面的关系决定了引爆方式。
命中条件：
触发引信引爆：如果深弹落在潜艇平面范围内（即$|x_d| \leq 50$ m，$|y_d| \leq 10$ m），且 $z_d < 150 - \frac{H}{2}$。
定深引信引爆（范围内）：如果深弹落在潜艇平面范围内，且 $z_d \geq 150 - \frac{H}{2}$，且潜艇在杀伤半径内。
定深引信引爆（范围外）：如果深弹落在潜艇平面范围外，到达 $z_d$ 时潜艇在杀伤半径内。